🔄 Corpi rigidi in rotazione

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🔄 Corpi rigidi in rotazione

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Dal moto di traslazione al moto di rotazione

Un corpo rigido esteso non è un punto: ha una forma e una distribuzione di massa. Quando ruota, ogni suo punto descrive una circonferenza, ma tutti condividono lo stesso angolo, la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare.

La fisica della rotazione ricalca, formula per formula, quella della traslazione che già conosci: basta sostituire le grandezze lineari con le loro analoghe angolari.

RuoloTraslazioneRotazione
posizione$s$$\theta$
velocità$v$$\omega$
accelerazione$a$$\alpha$
inerzia$m$ (massa)$I$ (mom. d'inerzia)
«causa»$F$ (forza)$M$ (momento)
2ª legge$F = m\,a$$M = I\,\alpha$
quantità di moto$p = m\,v$$L = I\,\omega$
💡 In ogni sezione trovi sempre la stessa struttura: Teoria (concetti e formule) → Simulazioni (cursori e animazioni) → Prova tu (esercizi guidati con soluzione passo-passo) → Quiz (a scelta multipla e di calcolo).

Percorso

🏛️ Nota storica · come nacque la meccanica delle rotazioni

L'idea che l'effetto di una forza dipenda anche dal suo braccio — cioè il momento — è antichissima: già Archimede (III secolo a.C.) formulò la legge della leva, a cui si lega la celebre frase «datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo».

Nel Seicento Galileo Galilei e soprattutto Christiaan Huygens, studiando il pendolo composto, capirono che per mettere in rotazione un corpo esteso non conta solo la massa, ma come questa è distribuita attorno all'asse: è il primo abbozzo del concetto di momento d'inerzia.

Con i Principia di Isaac Newton (1687) la dinamica ebbe le sue leggi generali. Fu però Leonhard Euler, nel Settecento, a scrivere le equazioni complete della rotazione dei corpi rigidi e a dare al momento d'inerzia $I$ il nome e il ruolo che ha ancora oggi: l'analogo rotazionale della massa. Le formule $M = I\,\alpha$ e $L = I\,\omega$ che userai in questa app sono, in fondo, la sua eredità.

Archimede~250 a.C. · leva e momento
Huygens1673 · pendolo composto
Newton1687 · leggi della dinamica
Euler1765 · dinamica del corpo rigido

Cinematica rotazionale

🎯 Le grandezze angolari

Per descrivere la rotazione misuriamo gli angoli in radianti (rad): un giro completo vale $2\pi$ rad $\approx 6{,}28$ rad.

  • Angolo di rotazione $\theta$ — di quanto è ruotato il corpo (analogo allo spostamento $s$).
  • Velocità angolare $\omega$ — quanto velocemente cambia l'angolo (analoga a $v$).
  • Accelerazione angolare $\alpha$ — quanto velocemente cambia $\omega$ (analoga ad $a$).
$$\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \qquad\qquad \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$$

dove: $\theta$ = angolo (rad)  ·  $\omega$ = velocità angolare (rad/s)  ·  $\alpha$ = accelerazione angolare (rad/s²)  ·  $\Delta t$ = intervallo di tempo (s).

Moto rotatorio uniformemente accelerato

Se $\alpha$ è costante, valgono equazioni identiche a quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato — con $\theta,\ \omega,\ \alpha$ al posto di $s,\ v,\ a$:

$$\omega = \omega_0 + \alpha\,t$$
$$\theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^{2}$$
$$\omega^{2} = \omega_0^{\,2} + 2\,\alpha\,\Delta\theta$$

dove: $\omega_0$ = velocità angolare iniziale  ·  $\theta_0$ = angolo iniziale  ·  $t$ = tempo (s)  ·  $\Delta\theta=\theta-\theta_0$.

Il legame con le grandezze lineari

Un punto del corpo a distanza $r$ dall'asse percorre un arco di lunghezza $s = r\,\theta$. Derivando rispetto al tempo si ottengono velocità e accelerazione tangenziali:

$$\begin{aligned} s &= r\,\theta \\[2pt] v &= r\,\omega \\[2pt] a_t &= r\,\alpha \end{aligned}$$

dove: $r$ = distanza dall'asse (m)  ·  $s$ = arco percorso (m)  ·  $v$ = velocità tangenziale (m/s)  ·  $a_t$ = accelerazione tangenziale (m/s²).

Inoltre, anche muovendosi con $\omega$ costante, il punto ha un'accelerazione centripeta diretta verso l'asse:

$$a_c = \omega^{2}\,r = \frac{v^{2}}{r}$$

dove: $a_c$ = accelerazione centripeta (m/s²), diretta dal punto verso l'asse di rotazione.

📐 Più un punto è lontano dall'asse ($r$ grande), più è veloce: la velocità angolare $\omega$ è la stessa per tutti, ma la velocità lineare $v = r\,\omega$ cresce con $r$. Ecco perché l'estremità di una pala di elicottero «sferza» l'aria.
P θ v = r·ω a꜀ ω r = distanza dall'asse · s = r·θ

Diagramma: angolo θ, velocità tangenziale v, accelerazione centripeta a꜀ e verso di ω.

Dinamica rotazionale

⚙️ Che cosa fa ruotare un corpo

Il momento $M$ di una forza

Una forza fa ruotare un corpo solo se è applicata «con leva». Il momento (o momento torcente) misura questa capacità: dipende dalla forza $F$, dalla distanza $r$ dal punto di applicazione all'asse e dall'angolo $\varphi$ fra loro.

$$M = r\,F\,\sin\varphi = F\,b$$

dove: $M$ = momento (N·m)  ·  $F$ = forza (N)  ·  $r$ = distanza dall'asse (m)  ·  $\varphi$ = angolo fra $\vec r$ e $\vec F$  ·  $b = r\,\sin\varphi$ = braccio (distanza dell'asse dalla retta d'azione, m).

Il momento è massimo quando la forza è perpendicolare ($\varphi = 90^\circ$), nullo se è diretta verso l'asse.

Il momento d'inerzia $I$

L'inerzia alla rotazione non dipende solo dalla massa, ma da come è distribuita attorno all'asse: massa lontana dall'asse «pesa» di più.

$$I = \sum_i m_i\,r_i^{\,2}$$

dove: $I$ = momento d'inerzia (kg·m²)  ·  $m_i$ = massa dell'$i$-esimo elemento  ·  $r_i$ = sua distanza dall'asse (m).

Corpo (asse)Momento d'inerzia
punto materiale$I = m\,r^{2}$
anello / cilindro cavo (asse)$I = m\,R^{2}$
disco / cilindro pieno (asse)$I = \tfrac{1}{2}\,m\,R^{2}$
sfera piena (diametro)$I = \tfrac{2}{5}\,m\,R^{2}$
asta (centro)$I = \tfrac{1}{12}\,m\,L^{2}$
asta (estremo)$I = \tfrac{1}{3}\,m\,L^{2}$

La 2ª legge della dinamica rotazionale

Il momento totale produce un'accelerazione angolare proporzionale, con $I$ come «inerzia». È la copia esatta di $F = m\,a$:

$$M = I\,\alpha \qquad\Longleftrightarrow\qquad F = m\,a$$

Il momento angolare $L$

L'analogo della quantità di moto $p = m\,v$ è il momento angolare $L = I\,\omega$. E come $F = \Delta p/\Delta t$, vale:

$$L = I\,\omega \qquad\qquad M = \frac{\Delta L}{\Delta t}$$

Infine l'energia cinetica di rotazione ricalca $\tfrac{1}{2}m\,v^{2}$:

$$E_{c,\text{rot}} = \tfrac{1}{2}\,I\,\omega^{2}$$

dove: $L$ = momento angolare (kg·m²/s)  ·  $E_{c,\text{rot}}$ = energia cinetica di rotazione (J)  ·  $\Delta t$ = intervallo di tempo (s).

GrandezzaTraslazioneRotazione
2ª legge$F = m\,a$$M = I\,\alpha$
quantità di moto$p = m\,v$$L = I\,\omega$
«impulso»$F\,\Delta t = \Delta p$$M\,\Delta t = \Delta L$
energia cinetica$\tfrac{1}{2}m\,v^{2}$$\tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}$
lavoro$F\,s$$M\,\theta$
r F α M = r·F (forza ⟂) → α = M / I

Diagramma: una forza F applicata a distanza r genera un momento M che accelera la rotazione (α).

Piani inclinati collegati da una carrucola

⛰️ Corpi collegati da un filo su una carrucola che ruota

Due corpi sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile che passa su una carrucola. Se la carrucola fosse ideale (senza massa) la tensione sarebbe la stessa ai due capi. Ma una carrucola reale è un disco che ruota: per metterla in rotazione serve un momento, quindi le due tensioni non sono uguali.

Le tre equazioni del sistema

Consideriamo una massa $m_1$ su un piano inclinato (angolo $\theta_1$, attrito $\mu$) collegata a una massa $m_2$ appesa. Se $m_2$ scende, il sistema accelera con accelerazione $a$ uguale per i due corpi (filo inestensibile), e la carrucola (disco, massa $M_p$, raggio $R$) ruota con $\alpha = a/R$.

$$\begin{aligned} m_2:\ \ & m_2\,g - T_2 = m_2\,a \\[3pt] m_1:\ \ & T_1 - m_1\,g\sin\theta_1 - f_a = m_1\,a \\[3pt] \text{carrucola:}\ \ & (T_2 - T_1)\,R = I\,\alpha = \tfrac{1}{2}M_p R^{2}\cdot\frac{a}{R} \end{aligned}$$

Dall'ultima equazione: $\;T_2 - T_1 = \tfrac{1}{2}\,M_p\,a$. Sommando le tre equazioni la tensione si elimina e si ricava:

$$a = \frac{m_2\,g - m_1\,g\sin\theta_1 - \mu\,m_1\,g\cos\theta_1}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}M_p}$$

dove: $a$ = accelerazione (m/s²)  ·  $T_1,T_2$ = tensioni del filo (N)  ·  $f_a=\mu\,m_1 g\cos\theta_1$ = attrito (N)  ·  $M_p$ = massa carrucola (kg)  ·  $R$ = raggio carrucola (m)  ·  $g=9{,}81$ m/s².

Il termine $\tfrac{1}{2}M_p$ a denominatore è il contributo d'inerzia della carrucola: equivale ad aggiungere «metà della sua massa» al sistema. Con due piani inclinati ($\theta_1$ e $\theta_2$) basta sostituire la spinta di $m_2$ con $m_2\,g\sin\theta_2$.

🧩 Tre conseguenze importanti: (1) la carrucola pesante rallenta il sistema ($a$ più piccola); (2) $T_1 \ne T_2$, ed è proprio questa differenza a farla ruotare; (3) se $M_p \to 0$ si ritrova il caso ideale $T_1 = T_2$.
⚠️ Il sistema parte solo se la spinta supera l'attrito statico massimo. Se $m_2 g$ (o $m_2 g\sin\theta_2$) non basta a vincere $m_1 g\sin\theta_1 + \mu\,m_1 g\cos\theta_1$, resta fermo: $a = 0$.
θ₁ m₁ carrucola = disco T₁ T₂ m₂

Diagramma: la differenza T₂ − T₁ = ½Mp·a fa ruotare la carrucola-disco.

Momento applicato per un intervallo di tempo

⏱️ Che cosa succede se un momento agisce per un tempo $\Delta t$

Un corpo rigido sta già ruotando con velocità angolare $\omega_0$. Se gli applichiamo un momento $M$ per un intervallo di tempo $\Delta t$, il suo momento angolare cambia. È il teorema dell'impulso angolare, copia esatta del teorema dell'impulso ($F\,\Delta t = \Delta p$):

$$M\,\Delta t = \Delta L = I\,\omega_f - I\,\omega_0$$

La quantità $M\,\Delta t$ si chiama impulso angolare. Se $M$ è costante, dividendo per $I$ si ritrova $\alpha = M/I$ e quindi:

$$\omega_f = \omega_0 + \frac{M}{I}\,\Delta t = \omega_0 + \alpha\,\Delta t$$

dove: $M$ = momento applicato (N·m)  ·  $\Delta t$ = durata (s)  ·  $\Delta L$ = variazione di momento angolare (kg·m²/s)  ·  $\omega_0,\ \omega_f$ = velocità angolare iniziale e finale (rad/s)  ·  $I$ = momento d'inerzia (kg·m²).

Quali effetti?

  • Se $M$ è concorde con la rotazione → il corpo accelera ($\omega$ aumenta, $L$ aumenta).
  • Se $M$ è opposto (es. un freno) → il corpo rallenta, può fermarsi e perfino invertire il senso.
  • Per fermare in un tempo $\Delta t$ un volano con momento angolare $L$ serve un momento medio $M = L/\Delta t$: più lungo è $\Delta t$, minore è il momento necessario (come l'airbag per la quantità di moto).
$$\Delta t = \frac{\Delta L}{M} = \frac{I\,\Delta\omega}{M}$$
🌀 Se invece il momento è perpendicolare al momento angolare (come la gravità su una trottola o un giroscopio in moto), non cambia il modulo di $\vec L$ ma la sua direzione: l'asse «gira lentamente» attorno alla verticale. È la precessione.
ω₀ M M·Δt = ΔL ωf = ω₀ + (M/I)·Δt F·Δt = Δp  ↔  M·Δt = ΔL

Diagramma: un momento M applicato per Δt cambia il momento angolare di ΔL = M·Δt.

Conservazione del momento angolare

💫 Quando il momento angolare si conserva

Dalla relazione $M = \Delta L/\Delta t$ segue subito un principio potentissimo: se il momento esterno totale è nullo, il momento angolare si conserva.

$$\text{se}\ \ M_\text{est} = 0 \quad\Rightarrow\quad L = I\,\omega = \text{costante}$$

Il corpo può però cambiare forma e quindi il proprio momento d'inerzia $I$. Poiché $I\,\omega$ resta costante, se $I$ diminuisce allora $\omega$ aumenta (e viceversa):

$$I_1\,\omega_1 = I_2\,\omega_2$$

dove: $L$ = momento angolare (kg·m²/s)  ·  $I$ = momento d'inerzia (kg·m²)  ·  $\omega$ = velocità angolare (rad/s)  ·  gli indici $1,2$ indicano prima e dopo il cambio di forma.

🎡 Persona sulla piattaforma rotante

Una persona su una piattaforma girevole (attrito dell'asse trascurabile) si avvicina al centro: il suo $I$ diminuisce (la massa è più vicina all'asse), quindi $\omega$ aumenta e la piattaforma gira più veloce. Se si allontana, rallenta. Il momento angolare non cambia, ma l'energia cinetica $\tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}$ aumenta: a fornirla è il lavoro muscolare fatto per tirarsi verso il centro.

💃 La piroetta della ballerina

Stesso principio: la ballerina (o il pattinatore) parte con le braccia larghe ($I$ grande, $\omega$ piccola) e, chiudendo le braccia, riduce $I$ e accelera la piroetta. Allargandole di nuovo, rallenta per fermarsi con eleganza.

🎯 Asta-pendolo colpita da un corpo (trattazione completa)

Un'asta rigida (massa $M$, lunghezza $L$), imperniata a un estremo e inizialmente ferma, viene colpita all'estremo libero da un corpo (massa $m$) con velocità $v$ perpendicolare all'asta, e vi resta conficcato.

① Durante l'urto — l'urto è brevissimo: il momento angolare rispetto al perno si conserva (le forze impulsive del perno hanno braccio nullo). Subito dopo l'urto:

$$m\,v\,L = \left(\tfrac{1}{3}M L^{2} + m L^{2}\right)\omega \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{m\,v\,L}{\tfrac{1}{3}M L^{2} + m L^{2}}$$

② Dopo l'urto — l'asta (con il corpo conficcato) ruota verso l'alto come un pendolo composto: ora agisce il momento della gravità, che produce un'accelerazione angolare. Quando l'asta è inclinata di $\varphi$ rispetto alla verticale:

$$\alpha = -\,\frac{g\left(M\,\tfrac{L}{2} + m\,L\right)\sin\varphi}{\tfrac{1}{3}M L^{2} + m L^{2}}$$

dove: $M,\ L$ = massa e lunghezza dell'asta  ·  $m,\ v$ = massa e velocità del corpo  ·  $\omega$ = velocità angolare subito dopo l'urto  ·  $\varphi$ = angolo dell'asta rispetto alla verticale  ·  il segno «$-$» indica che la gravità frena la salita.

All'istante dell'urto ($\varphi \approx 0$) l'accelerazione angolare è quasi nulla; cresce man mano che l'asta sale, frenando la rotazione fino all'altezza massima.

⚖️ Riassunto: l'urto fissa la velocità angolare $\omega$ (conservazione di $L$); la gravità determina poi l'accelerazione angolare $\alpha$ durante la salita. Sono due fasi distinte con due principi diversi.
braccia larghe → ω piccola perno m, v M, L

A sinistra: piattaforma/ballerina (I·ω costante). A destra: asta-pendolo colpita all'estremo.

Rototraslazione: traslazione + rotazione insieme

🎳 Quando un corpo trasla e ruota nello stesso istante

Una ruota che avanza, una palla che rotola: il corpo trasla (il suo centro di massa si sposta) e contemporaneamente ruota attorno al centro di massa. La velocità di un punto qualsiasi è la somma:

$$\vec v_\text{punto} = \vec v_\text{cm} + \vec v_\text{rotazione}$$

Rotolamento puro (senza strisciare)

Se il corpo rotola senza strisciare, il punto a contatto col suolo in quell'istante è fermo. Da qui i due legami fondamentali fra grandezze lineari e angolari:

$$v_\text{cm} = \omega\,R \qquad\qquad a_\text{cm} = \alpha\,R$$

dove: $v_\text{cm}$ = velocità del centro di massa (m/s)  ·  $a_\text{cm}$ = sua accelerazione (m/s²)  ·  $\omega$ = velocità angolare (rad/s)  ·  $R$ = raggio (m).

Conseguenza sui punti notevoli: il contatto ha velocità $0$, il centro ha velocità $v_\text{cm}$, la sommità ha velocità doppia $2\,v_\text{cm}$. È come se in ogni istante il corpo ruotasse attorno al punto di contatto (asse istantaneo di rotazione).

Energia cinetica: due contributi

L'energia cinetica è la somma di quella di traslazione e di quella di rotazione:

$$E_c = \tfrac{1}{2}\,m\,v_\text{cm}^{2} + \tfrac{1}{2}\,I_\text{cm}\,\omega^{2}$$

Scrivendo $I_\text{cm} = c\,m\,R^{2}$ (con $c$ che dipende solo dalla forma) e usando $v = \omega R$:

$$E_c = \tfrac{1}{2}\,m\,v_\text{cm}^{2}\,(1 + c) \qquad c=\begin{cases}1 & \text{anello}\\[2pt] \tfrac{1}{2} & \text{cilindro}\\[2pt] \tfrac{2}{5} & \text{sfera}\end{cases}$$

Rotolamento lungo un piano inclinato

Un corpo che rotola senza strisciare giù da un piano di angolo $\theta$ ha accelerazione del centro di massa:

$$a_\text{cm} = \frac{g\sin\theta}{1 + c}$$

Sorpresa: non dipende né dalla massa né dal raggio, ma solo dalla forma (cioè da $c$)! Quindi in una «gara» giù dal piano arriva prima il corpo con $c$ più piccolo:

Corpo$I_\text{cm}$$c$$a_\text{cm}$ sul piano
blocco che scivola (no attrito)—$0$$g\sin\theta$ (il più veloce)
sfera piena$\tfrac{2}{5}mR^{2}$$0{,}40$$\tfrac{5}{7}\,g\sin\theta$
cilindro / disco$\tfrac{1}{2}mR^{2}$$0{,}50$$\tfrac{2}{3}\,g\sin\theta$
anello / cilindro cavo$mR^{2}$$1{,}00$$\tfrac{1}{2}\,g\sin\theta$ (il più lento)

Con la conservazione dell'energia (partendo da un dislivello $h$) si trova anche la velocità in fondo:

$$m\,g\,h = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}\,(1+c) \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,g\,h}{1+c}}$$
🔧 Il ruolo dell'attrito. È l'attrito statico a fornire il momento che fa rotolare il corpo. Poiché il punto di contatto è fermo, questo attrito non compie lavoro: l'energia meccanica si conserva. Serve però abbastanza attrito: se $\mu < \dfrac{c}{1+c}\tan\theta$ il corpo comincia a strisciare.
2·v v v = 0 (contatto) ω v = ω·R contatto 0 · centro v · cima 2v

Diagramma: in un rotolamento puro il contatto è fermo, il centro va a v, la sommità a 2·v.

Test finale · 20 quesiti su tutti gli argomenti